Exponenciális Egyenlőtlenségek Megoldása
- Exponenciális egyenletek | zanza.tv
- Matematika #56 - Exponenciális Egyenlőtlenségek - YouTube
- Exponenciális egyenlőtlenségek megoldása | mateking
- Exponenciális egyenletek | slideum.com
- 11. évfolyam: Egyenlőtlenségek - exponenciális
Exponenciális Egyenletek | Zanza.Tv
A 81 a 3-nak 4. hatványa. Az $f\left( x \right) = {3^{1 - 2x}}$ (ejtsd: ef-iksz egyenlő három az egy-mínusz-kétikszediken) függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért a kitevők egyenlők. Az eredmény $x = - \frac{3}{2}$. (ejtsd: mínusz három ketted) Ellenőrzésképpen helyettesítsük be az eredményt az eredeti egyenletbe! Minden exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért az ilyen típusú feladatokban a kitevők egyenlősége mindig ebből következik. 4 az x-ediken egyenlő 128. A 128 nem egész kitevőjű hatványa a 4-nek, de van kapcsolat a két szám között. Exponenciális egyenletek | zanza.tv. A 4 a 2-nek a 2. hatványa, a 128 pedig a 7. Ha hatványt hatványozunk, összeszorozhatjuk a kitevőket. Innen a szokásos módon folytatjuk: a kitevők egyenlőségét felhasználva megkapjuk az x-et. A megoldás helyességét visszahelyettesítéssel ellenőrizzük. Oldjuk meg az egyenletet az egész számok halmazán! Ebben a példában minden szám a 2 hatványa. A 8 a kettő 3. hatványa, ezért az $\frac{1}{8}$ a –3. (ejtsd: mínusz harmadik) A 4 a 2 négyzete. A bal oldalon felhasználjuk, hogy azonos alapú hatványok szorzatában összeadhatjuk a kitevőket, a jobb oldalon pedig a hatvány hatványozására vonatkozó azonosságot és a negatív kitevőjű hatvány fogalmát alkalmazzuk.
Matematika #56 - Exponenciális Egyenlőtlenségek - Youtube
A törtkitevő tehát gyökvonást jelent. Az előbbi két azonosságot kicsit továbbfejlesztve kapunk egy harmadikat. Ha van egy ilyen, hogy nos akkor ezen ki is próbálhatjuk ezt a képletet. Jön itt még néhány újabb képlet, de most már lássuk a függvényeket. Így néz ki a 2x függvény. Ez pedig a 3x. Ha az alap egy 2 és 3 közti szám, akkor a függvény a 2x és a 3x között van. Például egy ilyen szám a 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995… Ez a szám mágikus jelentőséggel bír a matematikában és az egyszerűség kedvéért elnevezték e-nek. Ez a függvény tehát az ex. Az összes 1-nél nagyobb alapú exponenciális függvény valahogy így néz ki. Ha az alap 1-nél kisebb, nos az egy másik állatfajta. Exponenciális egyenletek megoldása Az exponenciális egyenletek megoldása: Most néhány egészen fantasztikus exponenciális egyenletet fogunk megoldani. Exponenciális egyenletek | slideum.com. Már jön is az első: Mindig ez lebegjen a szemünk előtt: Persze csak akkor, ha meg akarunk oldani egy ilyen egyenletet… Lássuk csak, bingo! Na, ezzel megvolnánk.
Exponenciális Egyenlőtlenségek Megoldása | Mateking
6. feladat 1 4 4 4 1 x 1 • Vegyük észre, hogy az 1/4-t felírhatjuk 4 hatványaként! 8 7. feladat 10 0, 01 2 10 10 x 2 • Vegyük észre, hogy az 0, 01-t felírhatjuk 10 hatványaként! 9 8. feladat a a 4 32 2 x 2 2 2x 2x 5 x 2, 5 • Vegyük észre, hogy a 4-t és a 32-t felírhatjuk 2 hatványaként! • Alkalmazzuk a hatványok hatványozására vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára! 10 9. feladat 7 0 • Egy nem zérus alapú hatvány értéke soha sem lehet zérus. • Nincs megoldása az egyenletnek. x R 10. feladat 5 3 • Különböző alapú hatványok értéke azonos kitevővel akkor és csak akkor egyeznek meg, ha a kitevő x0 12 10. Feladat – másik módszer, mellyel azonos alapú hatványokra hozzuk az egyenlet oldalait! 5 5 3 3 an a n b b 5 1 3 0 ha a kitevőjük isosszuk megegyezik. • Azegyenlők, előbbi megoldást félre téve el az egyenletet az egyenlet jobb oldalával! • Alkalmazzuk az azonos kitevőjű hatványok hányadosára vonatkozó azonosságot az egyenlet bal oldalára!
ExponenciÁLis Egyenletek | Slideum.Com
Végül egy harmadik feladattípus következik: a másodfokú egyenletre visszavezethető exponenciális egyenlet. Vegyük észre, hogy a ${4^x}$ (ejtsd: négy az ikszediken) a ${2^x}$ négyzete. Vezessünk be egy új változót, a ${2^x}$-t jelöljük y-nal. Az y beírása után másodfokú egyenletet kapunk. Ennek a megoldása még nem a végeredmény, ki kell számolni az x-eket is. Itt felhasználjuk, hogy a számok 0. hatványa egyenlő 1-gyel. A kapott gyökök helyesek. Ha az egyenletben az ismeretlen a kitevőben van, akkor exponenciális egyenletről beszélünk. Többféle exponenciális egyenlettel találkoztunk. A legegyszerűbbeknek mindkét oldala egytagú. Ezeket úgy alakítjuk át, hogy ugyanannak a számnak a hatványai legyenek mindkét oldalon. Ha az egyik oldal többtagú és a kitevőkben összeg vagy különbség szerepel, a megfelelő hatványazonosságot alkalmazzuk, majd összevonunk, és osztunk a hatvány együtthatójával. A harmadik típusfeladat a másodfokúra visszavezethető exponenciális egyenlet. Ez tartalmaz egy hatványt és egy másik tagban annak a négyzetét.
11. Évfolyam: Egyenlőtlenségek - Exponenciális
Új változó bevezetésével láthatóvá válik a másodfokú egyenlet. Az exponenciális egyenletek megoldásának utolsó lépése mindig az exponenciális függvény szigorú monotonitásából következik. Ha az alapok és a hatványok egyenlők, akkor a kitevők is.
Másodfokú egyenletet kaptunk, melyet a megoldóképlettel oldunk meg. A gyökök egészek, tehát benne vannak az értelmezési tartományban. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy mindkét megoldás helyes. A következő feladathoz új ötletre van szükség, a kitevőket nem lehet egyenlővé tenni. Alkalmazzuk a hatványozás azonosságát, miszerint ha a kitevőben összeg van, azt azonos alapú hatványok szorzataként is írhatjuk. Ezután vonjuk össze a bal oldalt. A ${2^x}$ (ejtsd: 2 az x-ediken) ki is emelhető, hogy világosabb legyen az összevonás. Innen már ismerős a módszer, megegyezik az előző példák megoldásával. Az eredmény helyességét az ellenőrzés igazolja. A következő feladatot is ezzel a módszerrel oldjuk meg! Ha a hatványkitevő különbség, akkor hatványok hányadosát írhatjuk helyette, ha pedig összeg, akkor szorzatot. 24-szer 5 az 120, 1 ötöd egyenlő 0, 2. (ejtsd: 0 egész 2 tized) Mindkét oldalt elosztjuk 123, 8-del. (ejtsd: százhuszonhárom egész nyolc tized) A kapott gyök kielégíti az eredeti egyenletet.